\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[cp1251]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm,textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{cite}
\sloppy \textwidth=17cm \textheight=24cm \topmargin=-1.8cm
\oddsidemargin=-0.08cm \evensidemargin=-0.08cm
\pagestyle{empty}
\newenvironment{bibl}{\small\vspace{-3\baselineskip}\renewcommand{\refname}{}\begin{thebibliography}{10}}{\end{thebibliography}\normalsize}
\begin{document}


\begin{center}
{\bf Численное исследование обратной задачи для интегральной модели с разрывными ядрами.}\\[3mm]


{\bf А.~Н.~Тында$^{1}$, Д.~Н.~Сидоров$^{2,3}$}\\[3mm]


{\em $^{1}$Пензенский государственный университет, кафедра высшей и прикладной математики, 440026 Пенза, Россия\\
{e-mail: tyndaan@mail.ru }\\
$^{2}$ Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 664033 Иркутск, Россия\\
{e-mail: dsidorov@isem.irk.ru}\\ 	
$^{3}$ Иркутский национальный исследовательский университет, 664074 Иркутск, Россия}\\
\end{center}

Работа посвящена численному исследованию интегральных динамических моделей, в основе которых лежат интегральные уравнения Вольтерра I рода с ядрами, терпящими разрывы на множестве гладких кривых. Речь идет об уравнениях вида
\begin{equation}\label{2022-e01}
    \int_{0}^{t} K(t,s)x(s) ds = g(t), \,\,\,  0 \leq s\leq t \leq T,\,\, g(0)=0,
\end{equation}
где ядро \(K(t,s)\) представимо в форме
\begin{equation}\label{kernel}
    K(t,s) = \left\{ \begin{array}{ll}
          K_1(t,s), \,\, t,s \in m_1, \\
         \,\, \dots \,\, \dots \dots \dots  \\
         K_n(t,s), \,\, t,s \in m_n, \\
        \end{array} \right. \,\,
\end{equation}
Здесь $m_i = \{ t, s\,\,  \bigl |\,\, \alpha_{i-1}(t) < s < \alpha_i(t) \} $,
$ { \alpha_0(t)=0,\,\, \alpha_n(t)=t,\, i=\overline{1,n},} $
$\alpha_i(t),$ $g(t) \in {\mathcal{C}}_{[0,T]}^1,$ функции $K_i(t,s)$
имеют непрерывные производные по переменной  $t$ при $(t,s) \in cl({m_i}),$ $ K_n(t,t) \neq 0,$ $\alpha_i(0)=0,$ $0 < \alpha_1(t)<\alpha_2(t)<$ $\dots$ $< \alpha_{n-1}(t)<t,$ функции
$\alpha_1(t), \dots , \alpha_{n-1}(t) $  монотонно возрастают и
$0< \alpha_1^{\prime}(0) \leq$ $\dots$ $\leq \alpha_{n-1}^{\prime}(0)<1, $ а
$cl({m_i})$ --- замыкание множества $m_i.$

Такие слабо регулярные уравнения Вольтерра первого рода с кусочно-непрерывными ядрами были впервые классифицированы Д.Н. Сидоровым \cite{sid} и А. Лоренци \cite{lor} и
активно изучались многими авторами в течение последнего десятилетия. Здесь читатели могут обратиться к  \cite{bib4} и источникам в этой монографии. Операторным уравнениям Вольтерра первого рода с разрывнами ядрами  посвящены работы Н.А. Сидорова и Д.Н. Сидорова \cite{sidsid}.
Такие модели Вольтерра находят применение при моделировании различных динамических процессов, включая системы накопителей энергии \cite{eleng, matht}, такие модели, а также вопросы численного решения таких интегральных уравнений  и их систем подробно рассмотрены в диссертации И.Р. Муфтахова \cite{ildar}. \\


\noindent \textbf{Обратная задача.}\\
Классическая постановка задачи для модели \eqref{2022-e01}-\eqref{kernel} заключается в определении \(x(t)\) при известных остальных компонентах. Однако ряд естественных приложений модели \eqref{2022-e01}-\eqref{kernel} на практике приводит обратной задаче, заключающейся в определении линий разрыва \(\alpha_i(t)\). При такой постановке уравнение \eqref{2022-e01} трактуется уже как нелинейное интегральное уравнение с неизвестными пределами интегрирования, численное исследование которого представляет математически более сложную задачу.
Сложность дискретизации в первую очередь связана с аппроксимацией интегралов при неизвестных длинах отрезков интегрирования.

Модели, описываемые интегральными уравнениями с неизвестными пределами интегрирования, берут свое начало в работах В.М. Глушкова \cite{Glushkov}, их экономические приложения исследуются в работах N. Hritonenko и Yu. Yatsenko (см, напр., \cite{Yatsenko8}), ряд прямых и итерационных численных методов А.Н. Тындой предложен в \cite{Tynda-PAMM09,Tynda-PAMM08}.

В настоящей работе для обратной задачи \eqref{2022-e01}-\eqref{kernel} при различных значениях \(n\) предлагаются прямые численные методы дискретизации первого порядка точности с апостериорной верификацией вычислений.



\vspace*{1cm}

\begin{bibl}


\bibitem{sid} Sidorov D.N. On parametric families of solutions of Volterra integral equations of the first kind with piecewise smooth kernel. { Diff. Equat.} {2013}.  49, 210--216. DOI: 10.1134/S0012266113020079


\bibitem{lor}
Lorenzi A. Operator equations of the first kind and integro-differential equations of degenerate
type in Banach spaces and applications of integro-differential PDE's. {
Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications}. {2013}.
Volume 1, Issue 2, 50--75.

\bibitem{bib4}  Sidorov D.   Integral Dynamical Models: Singularities, Signals And Control,
{In:\textsc{L. O. Chua,} ed.   World Scientific Series on Nonlinear Sciences Series A:} Vol. 87, Singapore: World Scientific Press, { 2015} .

\bibitem{sidsid}
Sidorov N.A., Sidorov D.N. On the solvability of a class of Volterra operator equations of the first kind with piecewise continuous kernels. {Math. Notes}. { 2014}. 96, 811--826. DOI: 10.1134/S0001434614110170

\bibitem{eleng}
Sidorov D.; Panasetsky D.; Tomin N.; Karamov D.; Zhukov A.; Muftahov I.; Dreglea A.; Liu F.; Li Y. Toward Zero-Emission Hybrid AC/DC Power Systems with Renewable Energy Sources and Storages: A Case Study from Lake Baikal Region. { Energies}.  {2020}. 13, 1226. DOI: 10.3390/en13051226

\bibitem{matht}
Sidorov D.; Tynda A.; Muftahov I.; Dreglea A.; Liu F. Nonlinear Systems of Volterra Equations with Piecewise Smooth Kernels: Numerical Solution and Application for Power Systems Operation. { Mathematics}.  {2020}. 8, 1257 DOI: 10.3390/math8081257

\bibitem{ildar}
Муфтахов И.Р.  Модели Вольтерра накопителей энергии в системах с возобновляемой генерацией: численные методы и приложения: автореф. дис. … канд. тех. наук. Иркутск, 2022. 19 с.

  \bibitem{Glushkov}
  Глушков В.М.,  Иванов В.В.,  Яненко В.М.
  {Моделирование развивающихся систем}, Москва, Наука. 1983. 352с.

  \bibitem{Yatsenko8}
  {Yatsenko Yu.}
        Volterra integral equations with unknown delay time.
        {Methods and Applications of Analysis}. 1995. { 2} (4), pp. 408-419.


  \bibitem{Tynda-PAMM09}
   Tynda A.N., Iterative numerical method for integral models of a nonlinear dynamical system with unknown delay.
                     {PAMM}. 2009. Volume 9 Issue 1, p.591---592.

%------------------
   \bibitem{Tynda-PAMM08}
    Tynda A.N.,  On the direct numerical methods for systems of integral equations with nonlinear delays.
             {PAMM}. 2008. Volume 8, Issue 1 , p. 10857--10858.


%\bibitem{ivan1} Фамилия1~И1.~О1. Название книги. Город:~Издательство, год.
%
%\bibitem{ivan2} Фамилия1~И1.~О1., Фамилия2~И2.~О2. Название статьи в журнале~//
%Название журнала. Год. Т.~6, \No~10. С.~6--10.
%
%\bibitem{ivan3}  Фамилия1~И1.~О1., Фамилия2~И2.~О2., Фамилия3~И3.~О3. Название статьи в сборнике~// Название сборника. Город: Издательство, год. С.~6--10.

\end{bibl}


\end{document}
